BAB IX : PERSAMAAN BIDANG DATAR

PERSAMAAN BIDANG DATAR

Persamaan umum pada koordinat kertesius 3 dimensi

Ax + By + Cz + D = 0 dimana A² + B² + C² ≠ 0

Gambarkanlah persamaan berikut untuk menentukan bidang dengan garis :

     1.      x + 2y + z = 4

Penyelesaian :

Titik potong disumbu-x sehingga y = z = 0

x + 0 + 0 = 4

x = 4

Sehingga (4,0,0)

Titik potong disumbu-y sehingga x = z = 0

0 + 2y + 0 = 4

2y = 4

y = 2

Sehingga (0,2,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = y = 0

0 + 0 + z = 4

z = 4

Sehingga (0,0,4)

       2.      x + 2z = 6

Penyelesaian :

Titik potong disumbu-x sehingga z = 0

x + 0 = 6

x = 6

Sehingga (6,0,0)

Titik potong disumbu-z sehingga x = 0

0 + 2z = 6

z = 3

Sehingga (0,0,3)

Jika diketahui dua bidang yaitu A₁x + B₁y + C₁z = D₁ dan A₂x + B₂y + C₂z = D_2, maka

1.      Jika θ adalah sudut antara dua bidang ini, maka :

2.      Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

3.      Dua bidang tersebut sejajar apabila

4.      Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

       

Jika d adalah jarak titik P (x₁,y₁,z₁) ke bidang Ax + By + Cz = D

Contoh Soal :

1.      Persamaan bidang yang melalui P(1,2,3) dan tegak lurus dengan vektor n = < 3,2,1 > adalah

Penyelesaian :

P(1,2,3) ; x₁ = 3, y₁ = 2, z₁ = 1

vektor n = < 3,2,1 > ; A = 1, B = 2, C = 3

Untuk mencari persamaan :

A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁) = 0

3(x-1) + 2(y-2) + 1(z-3) = 0

3x – 3 + 2y – 4 + z – 3 = 0

3x + 2y + z – 10 = 0

3x + 2y + z = 10

Titik potong terhadap sumbu-x maka y = z = 0

3x + 0 + 0 = 10

x = 3,3

Sehingga (3.3, 0, 0)

Titik potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

0 + 2y + 0 = 10

y = 5

Sehingga (0,5,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = y = 0

0 + 0 + z = 10

z = 0

Sehingga (0,0,10)

TUGAS :

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut :

            x + 2z = 6

            x - 2y + 2z = 4

            Bidang P(1,2,3) tegak lurus vektor n = < 3,2,1 >

Penyelesaian :

x + 2z = 6

Titik potong terhadap sumbu-x maka z = 0

x = 6

Sehingga (6,0,0)

Titik  potong terhadap sumbu-z maka x = 0

2z = 6

z = 3

Sehingga (0,0,3)

 

x - 2y + 2z = 4

Titik potong terhadap sumbu-x maka y = z = 0

x = 4

Sehingga (4,0,0)

Titik  potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

-2y = 4

z = -2

Sehingga (0,-2,0)

Titik  potong terhadap sumbu-z maka x = y = 0

2z = 4

z = 2

Sehingga (0,0,2)

Dari persaman bidang (1,2,3) tegak lurus vektor n = < 3,2,1 > didapatlah persamannya :

3x + 2y + z = 10

Titik potong terhadap sumbu-x maka y = z = 0

3x + 0 + 0 = 10

x = 3,3

Sehingga (3.3, 0, 0)

Titik potong terhadap sumbu-y maka x = z = 0

0 + 2y + 0 = 10

y = 5

Sehingga (0,5,0)

Titik potong terhadap sumbu-z maka x = y = 0

0 + 0 + z = 10

z = 0

Sehingga (0,0,10)

Dari penjelasan diatas terbentuklah tiga bidang, dimana ketiga bidang tersebut bertemu disalah satu titik. Sehingga ketiga bidang tersebut berpotongan di satu titik

Sumber :

Catatan Kuliah

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Modul Belajar