BAB VIII : KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy.

      

         Gambar 1                                                               Gambar 2

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, xy dan arah positif atau negative. Titik x disebut absis, titik y disebut koordinat dan titik z disebut aplikat.

Oktan I            : (x⁺ , y^+, z⁺)                                         Oktan V          : (x⁺ , y^+, z^-)

Oktan II          : (x⁺ , y-^, z⁺)                                          Oktan VI         : (x⁺ , y^-, z^-)

Oktan III         : (x^- , y^-, z⁺)                                           Oktan VII       : (x^- , y^-, z^-)

Oktan IV         : (x^- , y^+, z⁺)                                          Oktan VIII      : (x^- , y^+, z^-)

Contoh :

Tentukan posisi oktan pada titik P (2,3,4) dengan koordinat kartesius dimensi tiga!

Jawab :

Kita lihat titik P, dimana x bernilai positif, y bernilai positif dan z bernilai positif. Sehingga dapat terlihat bahwa titik P berada pada oktan 1.

Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar dibawah ini, kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x₁, y₁, z^­­₁).

|OA| = x₁

|AB| = y₁

|BP| = z₁

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

|OB|² = |OA|² + |AB|²

|OB|² = x₁² + y₁²

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :

|OP|² = |OB|² + |BP|²

|OP|^{2 =} x₁² + y₁² + z₁² (jika jarak O ke P(x₁,y₁,z₁))

Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

Mencari jarak suatu titik ke titik yang lain

Dimisalkan titik A(x₁,y₁,z₁) dan titik B(x₂,y₂,z₂), maka untuk mencari jarak AB kita gunakan :

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Panjang Vektor :

Diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ >, maka panjang vektor a adalah :

 

Jika diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ > dan b = < b₁, b₂, b^­­₃ > maka jarak vektor AB :

Jika vektor u = < u₁, u₂, u^­­₃ > dan vektor v = < v₁, v₂, v^­­₃ > maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan vektor pada bidang, yaitu :

Apabila vektor u tegak lurus terhadap vektor v maka dapat dibuktikan dengan :

Perkalian Vektor

Jika diketahui suatu vektor a = < a₁, a₂, a^­­₃ > dan b = < b₁, b₂, b^­­₃ > maka :

Hasil Kali Silang Dua Vektor

Sumber :

Catatan Kuliah

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Modul Belajar