BAB VII : VEKTOR PADA BIDANG

VEKTOR PADA BIDANG

Vektor dapat didefinisikan adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah sama.

Vektor dapat disimbolkan sebagai berikut. Misalnya . dimaksudkan vektor dengan titik pangkal A dan titik uung B. Vektor seperti ini dinamakan vektor bebas. Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vektor-vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vektor demikian disebut vektor posisi . Pada gambar 2, vektor-vektor posisi titik-titik P, Q, R dan S masing-masing terhadap titik O berturut-turut adalah .

 

Gambar 1                                                 Gambar 2

1.      Penjumlahan Vektor

Untuk memperoleh jumlah dua vektor , gambarkanlah vektor  yang titik pangkalnya  dan titik ujung vektor  (Gambar 3)

 

Gambar 3

Cara penjumlahan vektor pada gambar 3 disebut cara segitiga (aturan segitiga). Cara lain dalam penjumlahan  vektor dinamakan cara/aturan jajargenjang(perhatikan gambar 4).

 

Gambar 4

Vektor dapat dinyatakan dengan matriks . Dan besaran vektor dapat dinyatakan dengan

2.      Pengurangan vektor

Untuk memperoleh pengurangan dua vektor dapat kita lihat (Gambar 5).

 

Gambar 5

Contoh :

1.      Tentukanlah vektor, besaran vektor, penjumlahan dan pengurangan vektor.

Vektor :

 Besaran vektor :

Penjumlahan vektor

Untuk mencari penjumlahan vektornya, kita dapat menggeserkan sinar AB sedemikian sehingga titik A berada dititik C. Kemudian dibuat titik bantu sedemikian sehingga vektor u dan vektor v dapat dijumlahkan. Seperti gambar dibawah ini :

 

Sehingga didapatlah:

 Pengurangan vektor

Sama halnya dengan penjumlahan, kita dapat menggeserkan sinar AB sedemikian sehingga titik A berada dititik C. Kemudian dibuat titik bantu sedemikian sehingga vektor u dan vektor v dapat dikurangkan seperti pada pembahasan materi pengurangan vektor. Seperti gambar dibawah ini :

Sehingga didapatlah:

 2.      Tentukanlah vektor, besaran vektor, penjumlahan dan pengurangan vektor.

Vektor :

Besaran vektor :

Penjumlahan vektor

Untuk mencari penjumlahan vektornya, kita dapat menggeserkan sinar AB sedemikian sehingga titik A berada dititik C. Kemudian dibuat titik bantu sedemikian sehingga vektor f dan vektor g dapat dijumlahkan. Seperti gambar dibawah ini :

 

 

Sehingga didapatlah:

 Pengurangan vektor

Sama halnya dengan penjumlahan, kita dapat menggeserkan sinar AB sedemikian sehingga titik A berada dititik C. Kemudian dibuat titik bantu sedemikian sehingga vektor u dan vektor v dapat dikurangkan seperti pada pembahasan materi pengurangan vektor. Seperti gambar dibawah ini :

 

Sehingga didapatlah:

3.      Sifat-sifat penjumlahan vektor dan perkalian skalar dengan vektor

4.      Persamaan vektor untuk suatu garis lurus

Diketahui titik P (x, y) dan Q (a,b)

 

Jadi, persamaan parametriknya garis dengan parameter k adalah

      dan   

Contoh :

1.      Tentukan persamaan vektor suatu garis lurus yang melalui A(3, -5) dan B(1,2) dan tentukan persamaan Kartesiusnya!

Penyelesaian :

A(3, -5) dan B(1,  2)

Persamaan vektor parametric:

Persamaan Kartesius:

2.      Persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah x = r cos t; y = r sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π

Penyelesaian :

Persamaan vektor adalah

Bentuk lain dari persamaan vektor suatu lingkaran sebagai berikut :

Ambil vektor posisi sembarang titik V(x,y) pada lingkaran, yaitu

Mengingat bahwa , maka persamaan lingkaran yang dimaksud adalah

Dalam persamaan ini, jika vektor v diganti [x    y] diperoleh

[x    y].[x    y]  = r²

x² + y² = r²

Sekarang akan mencari persamaan vektor suatu lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r.

 

V(x,y) sembarang titik pada lingkaran yang vektor posisinya adalah

vektor v = < x, y >.

Misalkan vektor p = < a,b > adalah vektor posisinya adalah

Karena dan V sebarang titik lingkaran, maka

Adalah suatu persamaan vektor lingkaran yang dicari.

Persaman  kartesiusnya yang dicari dengan mensubtitusikan vektor v = < x, y> dan vektor p = < a, b> maka diperoleh

Mengingat persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat P (a,b) dan berjari-jari r adalah

x = a + r cos t; y = b + r sin t; 0 ≤ t ≤ 2π

Maka persamaan vektor lingkaran itu dapat pula dinyatakan oleh

Sumber :

Catatan Kuliah

Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Modul Belajar