A. Kurva Berderajat Dua
Kurva berderajat dua memiliki persamaan
umum, yaitu :
Ax2
+ By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Kedudukan
titik-titik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap
dan garis tetap membentuk irisan kerucut.
Tiap irisan kerucut memiliki
karakteristik dari tiap bentuk kurva.
-
Esentrisitas
-
Garis direktris
-
Titik focus
 | |||
 |
|||
Gambar
1 Gambar
2
F adalah titik focus.
Gambar 2 adalah akibat jika P bergerak
dan memiliki jarak yang sama, maka akan membentuk kurva berderajat dua.
Esentrisitas : e = d : d'.
Esentrisitas memiliki nilai konstan.
e = 1 ketika d = d'
e < 1 ketika d < d'
e > 1 ketika d > d'
Contoh
:
Dimisalkan terdapat suatu kurva melalui
titik (0,0). Tentukan persamaan umumnya..
Penyelesaian :
Titik (0,0) subtitusikan ke persamaan
umum, sehingga didapatkan :
A(0)2 + B(0)2 +
C(0)(0) + D(0) + E(0) + F = 0
F = 0
B. Lingkaran
Lingkaran
adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik
tertentu sama panjang. Titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang sama dinamakan jari-jari lingkaran. Lingkaran merupakan
kurva tertutup sederhana.
 |
Dengan
menggunakan konsep jarak :
((x
– a)2 + (y – b)2)1/2 = CP
((x
– a)2 + (y – b)2)1/2 = r
(x
– a)2 + (y – b)2 = r2
x2
+ y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2
+ y2 – 2ax – 2by + c = 0
Jadi,
persamaan umum lingkaran adalah (x – a)2
+ (y – b)2 = r2
Contoh
:
Tentukan persamaan lingkaran jika
diketahui titik pusatnya adalah (0,0) yang memiliki jari-jari 3.
Penyelesaian :
Cara
1 : Dengan menggunakan persamaan umum kurva berderajat dua
Titik-titik yang dilalui oleh lingkaran
tersebut adalah (3,0); (0,3); (-3,0); (0,-3); (5/2,5/3); dan (-5/2,5/3).
Subtitusikan titik-titik tersebut ke
persamaan umum kurva berderajat dua :
(3,0) => 9A + 3D + F = 0 (1)
(0,3) => 9B + 3E + F = 0 (2)
(-3,0) => 9A – 3D + F = 0 (3)
(0,-3) => 9B – 3E + F = 0 (4)
(5/2,5/3) => 25A/4 + 25B/9 + 25C/6 + 5D/2 + 5E/3 + F
= 0 (5)
(-5/2,5/3) => 25A/4 + 25B/9 - 25C/6 - 5D/2 + 5E/3 + F
= 0 (6)
Eliminasikan persamaan
(1) dan (3)
9A + 3D + F = 0
9A
– 3D + F = 0 -
6D = 0
D = 0
D = 0 disubtitusikan ke
persamaan (1) sehingga
9A + F = 0 ó F = -9A
Misalkan A = 1 maka F =
-9
Eliminasikan persamaan
(2) dan (4)
9B + 3E + F = 0
9B
– 3E + F = 0 -
6E = 0
E = 0
E = 0 disubtitusikan ke
persamaan (3) sehingga
9B + F = 0 ó F = -9B
Misalkan B = 1 maka F =
-9
Eliminasikan persamaan
(5) dan (6)
25A/4 + 25B/9 + 25C/6 +
5D/2 + 5E/3 + F = 0
25A/4
+ 25B/9 - 25C/6 - 5D/2 + 5E/3 + F = 0 -
25C/3 + 5D = 0
Subtitusikan D = 0 ke
25C/3 + 5D = 0, sehingga didapatkan :
25C/3 = 0 ⇔ C = 0
Jadi didapatlah A=1,
B=1, C=0, D=0, E=0, F=-9
Sehingga persamaan
umumnya adalah x2 + y2 - 9 = 0 ⇔ x2 + y2 = 9
Cara
2 : Dengan menggunakan persamaan lingkaran
Persamaan
lingkaran adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Subtitusikan
titik pusat dan jari-jari kepersamaan lingakaran :
(x
– 0)2 + (y – 0)2 = 32
x2
+ y2 = 9
Sifat
– sifat lingkaran
-
Secara geometri :
Lingkaran mempunyai
titik pusat dan berjarak sama pada suatu titik tertentu.
-
Secara aljabar :
Persamaan umum : (x –
a)2 + (y – b)2 = r2 . Dengan (a,b) adalah
titik pusat dan r adalah jari-jari.
Syarat-syarat
pada persamaan lingkaran
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
c = a2 + b2 – r2
Ada beberapa syarat untuk nila c
- Untuk nilai c = 0
a2 + b2 = r2
(x – a)2 +
(y – b)2 = a2 + b2
x2 + y2
– 2ax – 2by + a2 + b2 = a2 + b2
x2 + y2
– 2ax – 2by = 0
(x – a)2 +
(y – b)2 = a2 + b2 => r2 = a2
+ b2
Lingkaran berpusat di
(a,b) berjari-jari (a2+b2)1/2
- Untuk nilai c > 0
a2 + b2 – r2
> 0
a2 + b2 > r2
(a2 + b2)1/2
> 0
- Untuk nilai c < 0
a2 + b2 – r2
< 0
a2 + b2 < r2
(a2 + b2)1/2
< 0
Garis
Singgung (Tangent) Lingkaran
Ruas
garis AB adalah jari-jari
g
adalah garis singgung di B
Garis
singgung akan tegak lurus terhadap jari-jari.
Garis
Singgung antara Dua Lingkaran
1.
Garis singgung persekutuan dalam
Garis perpanjangan AB
adalah garis singgung persekutuan dalam yaitu garis singgung dua lingkaran yang
memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran.
2.
Garis singgung persekutuan luar
Garis perpanjangan AB adalah
garis singgung persekutuan luar yaitu garis singgung dua lingkaran yang tidak
memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran.
Hubungan dua garis singgung lingkaran
1.
Garis singgung sejajar
Garis g // garis h.
CD ⊥ garis g dan CD ⊥
garis h.
mg = mh => mCD
= -1/mg = -1/mh
2.
Garis singgung berpotongan
Garis singgung h dan I berpotongan di
titik D.
Titik B adalah garis singgung h dan titik
C adalah garis singgung i.
BC ⊥ AD.
AD adalah perpanjangan jari-jari.
Persamaan garis singgung lingkaran
1.
Sejajar
Akan kita buktikan
dengan contoh soal
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran x2+y2=25 yang sejajar dengan garis y=2x+3
Penyelesaian :
- Identifikasi Masalah :
Persamaan lingkaran x2+y2=25
berarti lingkaran yang berpusat di (0,0)
dengan jari-jari 5.
Misalkan garis h : y =
2x +3 sehingga mh = 2
Misalkan garis singgung
lingkaran adalah garis k dan garis k // garis h. berarti mk = mh
= 2
Sehingga k : y = 2x + c
Data yang dibutuhkan
titik singgung agar diperoleh nilai c
- Strategi Pemecahan Masalah
Mencari titik singgung
dengan sketsa masalah
P1(x1,y1)
dan P2(x2,y2) adalah titik singgung.
P1 dan P2
terdapat pada lingkaran, maka :
x12+y12=25
x22+y22=25
Sehingga didapatkan :
y1
= 2x1 + c
y2
= 2x2 + c
·
Subtitusikan persamaan y = 2x + c ke
persamaan x2+y2=25
x2 + (2x+c)2
= 25
x2 + 4x2
+ 4cx + c2 = 25
5x2 + 4cx +
c2 – 25 = 0
Agar memiliki solusi
riil maka D = 0
(4c)2 –
4.5(c2-25) = 0
16c2 – 20c2
– 500 = 0
- 4c2 = 500
c = 
Jadi persamaan singgung dari lingkaran x2+y2=25
adalah
Jika diketahui garis singgung yang
sejajar y = mx + n maka persamaan garis singgung yaitu
Sehingga diperoleh dua garis singgung
2.
Tegak Lurus
Akan kita buktikan
dengan contoh soal
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran x2+y2=25 yang tegak lurus dengan garis y=2x+3
Penyelesaian :
- Identifikasi Masalah :
Persamaan lingkaran x2+y2=25
berarti lingkaran yang berpusat di (0,0)
dengan jari-jari 5.
Misalkan garis h : y =
2x +3 sehingga mh = 2
Misalkan garis singgung
lingkaran adalah garis k dan garis k tegak lurus garis h. berarti mk
= -1/mh = -1/2
Sehingga k : y = -1/2x
+ c
Data yang dibutuhkan
titik singgung agar diperoleh nilai c
- Strategi Pemecahan Masalah
Mencari titik singgung
dengan sketsa masalah
P1(x1,y1)
dan P2(x2,y2) adalah titik singgung.
P1 dan P2
terdapat pada lingkaran, maka :
x12+y12=25
x22+y22=25
Sehingga didapatkan :
y1
= 2x1 + c
y2
= -1/2x2 + c
·
Subtitusikan persamaan y = -1/2x + c ke
persamaan x2+y2=25
x2 + (-1/2x+c)2
= 25
x2 + 1/4x2
+ -cx + c2 = 25
5/4x2 - cx +
c2 – 25 = 0
Agar memiliki solusi
riil maka D = 0
(-c)2 –
4(5/4)(c2-25) = 0
c2 – 5c2
+ 125 = 0
4c2 = 125
Jadi persamaan singgung dari lingkaran x2+y2=25
adalah
Jika diketahui garis singgung yang tegak
lurus y = mx + n maka persamaan garis singgung yaitu
Sehingga diperoleh dua garis singgung
Contoh
:
1.
Diketahui persamaan (x-2)2+(y-3)2=16.
Dimanakah titik A (5,4) berada? diluar,
di dalam atau pada lingkaran ?
Penyelesaian :
Subtitusikan titik A ke persamaan,
sehingga didapatkan :
(5-2)2+(4-3)2=16
9 + 49 = 16
58 > 16
Karena jari-jari pada titik A lebih dari
jari-jari persamaan lingkaran. Sehingga titik A berada di luar lingkaran.
Hubungan antara letak titik dengan
lingkaran :
1. Jika dimasukkan suatu titik ke persamaan
lingkaran, kemudian jari-jarinya > jari-jari persamaan awal lingkaran, maka
titik tersebut berada di luar lingkaran.
2. Jika dimasukkan suatu titik ke persamaan
lingkaran, kemudian jari-jarinya = jari-jari persamaan awal lingkaran, maka
titik tersebut berada pada lingkaran.
3. Jika dimasukkan suatu titik ke persamaan
lingkaran, kemudian jari-jarinya < jari-jari persamaan awal lingkaran, maka
titik tersebut berada di dalam lingkaran.
Persamaan garis singgung baru
Disini
kita akan membuktikan persamaan garis singgung baru dari suatu lingkaran yang
berpusat di (a,b) dengan contoh sebagai berikut :
Kita dapat membuktikannya dengan
menggunakan bantuan GeoGebra.
Perhatikan beberapa gambar GeoGebra
dibawah ini !
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar diatas merupakan suatu lingkaran
dengan persamaan awalnya adalah x2+y2= 25 dan memiliki
garis singgung y = 0.75x+6.25 dengan titik singgung (-3,4) kemudian kita
misalkan titik pusatnya adalah (2,0) dari persamaan awal, maka didapatkan
persamaan garis singgung baru dan titik singgung yang baru. Setelah itu kita
misalkan lagi titik pusatnya (2,3) dari persamaan awala, maka didapatkan juga
persamaan garis singgung baru dan titik singgung yang baru.
Kemudian kita masukkan data-datanya
kedalam tabel seperti dibawah ini!
Gambar
|
Persamaan
Lingkaran
|
Garis
Singgung
|
Titik
Singgung
|
Titik
Pusat
|
1
|
x2
+ y2 = 25
|
y
= 0.75x+6.25
|
(-3,4)
|
(0,0)
|
2
|
(x-2)2
+ y2 = 25
|
y
= 0.75x+4.75
|
(-1,4)
|
(2,0)
|
3
|
(x-2)2
+ (y-3)2 = 25
|
y
= 0.75x+7.75
|
(-1,7)
|
(2,3)
|
Dari data tabel diatas kita dapat
mengambil kesimpulan bahwa :
Untuk mencari titik singgung baru dengan
menggunakan titik pusat baru
(x1,y1) jika dimasukkan titik pusat baru (a,b) (x1+a,
y1+b)
Titik
singgung menjadi titik singgung baru
Untuk mencari persamaan garis singgung
baru dengan menggunakan titik pusat baru
(titik
pusat)
(jika dimasukkan titik pusat baru)
Sehingga persamaan barunya adalah
Jadi terbukti bahwa untuk mencari
persamaan garis singgung baru kita dapat menggunakan rumus :
Tali
Busur
Tali busur adalah suatu garis yang
memotong lingkaran. Sedangkan tali busur snggung adalah garis yang menghubungkan
dua titik singgung.
Garis
Kutub
1.
Persamaan Garis Kutub
Kita
dapat menentukan persamaan garis kutub dengan contoh dibawah ini :
Diketahui
suatu persamaan lingkaran x2 + y2 = r2 . dari
titik B dapat dibuat dua garis singgung S1(x1,y1)
dan S2(x2,y2). Maka garis S1 dan S2
disebut tali busur singgung yaitu garis yang menghubungkan dua titik singgung.
Maka persamaan garis kutub B(x0,y0) terhadap x2
+ y2 = r2 adalah x0x+y0y=r2
Garis j merupakan garis
kutub
Jadi, Persamaan Garis Kutub adalah x0x+y0y=r2
2.
Sifat-Sifat Garis Kutub
a.
Menguhubungkan dua titik singgung dari
garis-garis singgung yang berpotongan di (x0,y0)
b.
Tegak lurus terhadap garis yang
menghubungkan (x0,y0) dari titik pusat ke lingkaran.
Sumber :
Catatan
Kuliah
Sukirman,
1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang,
Jakarta : Universitas Terbuka.
Modul
Belajar
Tidak ada komentar:
Posting Komentar