A. Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut
Inklinasi
Garis merupakan himpunan titik-titik yang tak
hingga dan tak berbatas. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B
maka garis tersebut dapat dinamakan
sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h,
l, m dan sebagainya. Sebuah
garis juga disebut kurva berderajat
satu yang dinyatakan
sebagai :
Ax + By +
C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x,
y variabel bilangan riil
Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh
garis
tersebut.
Peubah?
Apa itu peubah? Peubah dapat dikatakan sebagai variable. Dari persamaan diatas,
dapat kita ketahui bahwa peubah dari persamaan tersebut adalah x, dan y.
Contoh 1
Sebuah
garis yang melalui titik A(1,
2), B(-3, 4), dan
C(5, 0) maka persamaan
kurva berderajat
satu untuk garis tersebut ditentukan
sebagai
berikut.
Penyelesaian dengan menggunakan
persamaan kurva berderajat satu Ax + By + C = 0
Langkah 1) Substitusi
koordinat titik ke dalam
persamaan kurva
Garis
melalui A(1, 2) ⇒ A(1)
+ B(2)
+ C = 0 ⇒ A + 2B + C
= 0
----------------------------- pers.
1
Garis
melalui B(-3, 4) ⇒ A(3)
+ B(-4) + C
= 0 ⇒ -3A
+ 4B + C
= 0----------------------- pers.
2
Garis
melalui C(5, 0) ⇒ A(5)
+ B(0)
+ C = 0 ⇒ 5A + C
= 0------------------------------- pers.
3
Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variable
A + 2B + C = 0
-3A + 4B + C = 0
5A + C = 0
Langkah 3)
Menyelesaikan sistem persamaan linier
Penyelesaian
sistem
persamaan
linier di atas yaitu : A = 1,
B = 2 dan C = -5
Maka persamaan
kurva
berderajat
satu untuk garis yang melalui A(1,
2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x +
2y -
5 = 0
Penyelesaian dengan menggunakan
persamaan y=ax+b
Dimisalkan persamaan garis adalah y =
ax+b
-
Subtitusikan titik A ke persamaan garis :
2 = a+b ………... (1)
-
Subtitusikan titik B ke persamaan garis :
4 = -3a+b …….... (2)
-
Eliminasikan persamaan (1) dan (2)
2 = a+b
4 = -3a+b -
-2 = 4a
a = -1/2
-
Subtitusikan a = -1/2 ke salah satu
persamaan
2 = (-1/2)+b
b = 5/2
Sehingga
didapatkan persamaan y = -a/2 + 5/2
Sudut
inklinasi garis (angle
of inclination) adalah suatu sudut yang bernilai positif yang dibentuk
antara sebuah garis dan sumbu x positif, dan biasanya sudut inklinasi dapat
dinotasikan oleh sudut alpha.
Adapun rumus yang digunakan dalam menentukan gradien jika
diketahui dua titik, yaitu:
Hubungan antara nilai
gradien dan sudut inklinasi adalah nilai gradien pada suatu garis merupakan
nilai tangent sudut inklinasi dan besarnya sudut inklinasi adalah nilai arc tan
dari gradient garis.
Bentuk dari
persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x dimana x
adalah variable bebas dan y adalah variable terikat yaitu sebagai berikut :
Konstanta m disebut
sebagai gradient yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta
persamaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.
Contoh
2
Tentukan nilai sudut inklinasi pada
persamaan x + 2y -5 = 0.
Penyelesaian :
Persamaan x + 2y -5 = 0 dapat diubah
menjadi persamaan garis bergradien, yaitu :
x + 2y - 5 = 0
⇔2y = -x + 5⇔
Maka gradiennya adalah -1/2. Sehingga kita dapat
menentukan sudut inklinasinya yaitu :
Pertanyaan 3 - 1 : Deskripsikan bentuk masing-masing garis berdasarkan gradien dan
sudut
inklinasi yang ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 3. Berbagai bentuk garis dengan gradient dan sudut berbeda
Penyelesaian :
Diketahui : Empat garis
berbeda p = AB, q = AC, r = BC, dan s = BD
Ditanyakan : Bentuk garis p, q, r dan s berdasarkan gradien dan
sudut inklinasi … ?
Identifikasi masalah :
Tiap garis melalui paling
sedikit dua titik berbeda. Jika diketahui koordinat kedua titik yang dilalui
garis maka dapat ditentukan persamaan garis
dengan menggunakan metode penyelesaian system persamaan linier dua variabel. Atau dapat menggunakan
konsep trigonometri pada segitiga siku-siku
untuk menentukan gradien suatu garis. Sebagai contoh garis p = AB melalui titik A(1,
1) dan B(5, 4). Ruas garis 𝐴𝐵 merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku ADB. Kemiringan
garis AB membentuk sudut ∠ BAD.
Sehingga kemiringan garis dapat ditentukan dari nilai tangen
ukuran sudut ∠ BAD
Langkah penyelesaian :
Metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV)
untuk garis r = BC yang melalui titik B(5, 4) dan C(7, 1)
Langkah 1 : Substitusi koordinat titik-titik ke dalam persamaan
garis y = mx + c
Garis melalui titik B => 4 = 5m + c
Garis melalui titik C => 1 = 7m + c
|
4 = 5m + c
1 = 7m + c -
3 = -2m
m = -2/3
m = -2/3
Langkah 3 : Substitusi nilai m dan c ke dalam persamaan garis y =
mx + c
Persamaan garis yaitu 
Tabel Hubungan antara gradient,
sudut inklinasi dan bentuk garis.
B. Sifat-Sifat Garis Dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan
Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri
Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah
garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua
garis. Dua garis tidak saling berpotongan disebut garis sejajar. Perhatikan bentuk
garis-garis pada gambar dibawah ini.
Gambar di atas
memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu
x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan
sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan
garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara
mensubstitusikan nilai x=0 ke dalam persamaangaris. Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong
sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu
x dan tidak memotong sumbu y. Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis
dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.
Hubungan persamaan garis
dan koordinat-koordinat titik potong garis terhadap sumbu koordinat cartesius
Dua garis dapat dikatakan sejajar jika dan hanya jika gradient kedua
garis sama. Dan dua garis berpotongan dapat dikatakan tegak lurus apabila
sudutnya membentuk sudut siku-siku jika dan hanya jika hasil kali gradient kedua
garis bernilai -1.
Persamaan-persamaan garis :
1.
y – y1 = m(x – x1)
2. 
3.
y = mx + c
4.
Ax + By + C = 0
Persamaan normal dari Ax + By + C = 0
C. Persamaan Normal Sebuah Garis
Garis normal adalah sebuah garis yang memotong
sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui
titik asal (0,0).
Garis OA merupakan garis normal terhadap garis l. Apabila sebuah garis m sejajar dengan sumbu x atau sumbu y, maka tidak
terdapat garis normalnya.
Sudut 𝛽 merupakan sudut apit normal. Untuk menentukan
besar sudut apit normal, kita dapat menggunakan sudut inklinasi, yaitu : 𝛽 = α – 90°.
Untuk menghitung panjang garis normal, kita
dapat menggunakan rumus :
Ruas garis AB adalah bagian dari garis l dan
termasuk dalam kemiringan suatu garis, dimana untuk menentukan kemiringan garis
(gradient) kita dapat menggunakan rumus :
m = tan α
m = tan ( 𝛽 + 90°)
α = arc tan m
Persamaan normal dari garis adalah x cos β + y sin β - p = 0
Persamaan normal dari Ax + By + C = 0
Dari persamaan normal diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak
titik asal 0 ke garis lurus dengan persamaan Ax + By + C = 0 adalah
D. Sudut antara Dua Garis Berpotongan
Contoh 1 :
Contoh 1 :
Persamaan kurva berderajat
satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah menjadi
persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.
1) Menentukan sudut normal 𝛽
Gradien garis yaitu 𝑚 = -1/2 maka sudut inklinasi 𝛼 = arc tan m = arc tan (-1/2) = 153,43.
Hubungan sudut inklinasi 𝛼 dan 𝛽 : 𝛼 = 90° + 𝛽. Telah diketahui sudut
inklinasi 𝛼 = 153,43° maka sudut 𝛽 = 63,43°
2)
Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p
Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y
= 0 sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka 𝑝 dibagi cos 𝛽 = 5 => p = 5 cos 𝛽 = 5 cos 63,43° = 5 . 0,447 = 2, 24
Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43° + y sin 63,43° -2,24 = 0
Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan
garis sebagai kurva berderajat atau pun
persamaan garis bergradien sebagai berikut :
x cos 63,43° + y sin 63,43° - 2,24 = 0 => 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0
=> x + 2y – 5 = 0
Sumber :
Catatan
Kuliah
Sukirman,
1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang,
Jakarta : Universitas Terbuka.
Modul
Belajar
Tidak ada komentar:
Posting Komentar