A. Kedudukan
Titik-Titik Dan Jarak Antara Dua Titik
Konsep titik diperkenalkan dalam
geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki
dimensi panjang. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap. Sedangkan
geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang
terjadi di alam.
Untuk menentukan letak/posisi suatu
titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan mula. Patokan mula dapat
diambil dari dua garis yang saling tegak lurus.
Dua garis yang saling tegak lurus
pada umumnya berupa garis horizontal (sumbu x) dan garis vertical (sumbu y).
Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4
daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran
III, dan kuadran IV.
Titik-titik pada sebuah
bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus
of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi.
Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai
x2 + y2 = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak
1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang
dinyatakan oleh persamaan x2 + y2 = 1. Adapun teorema-teorema
dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai
berikut.
Teorema 1.1
Jika diketahui suatu
titik P dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu
dimisalkan dengan d dari sebuah titik P, maka kedudukan
titik-titik tersebut akan membentuk suatu lingkaran yang berpusat di P
dengan jarak atau jari-jari d.
Teorema 1.2
Jika diketahui suatu
garis l dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
yaitu dimisalkan dengan d , maka kedudukan titik-titik tersebut akan
membentuk suatu garis yang sejajar dengan garis l .
Teorema 1.3
Jika diketahui dua
titik yaitu titik P dan titik Q sehingga membentuk suatu ruas
garis dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama diantara titik P
dan titik Q, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu
garis yang tegak lurus terhadap ruas garis dan membagi ruas garis menjadi dua
bagian sama besar.
Teorema
1.4
Jika diketahui dua
garis yang sejajar yaitu garis l1 dan garis l2
dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan kedua
garis tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk suatu garis
yang sejajar dengan garis l1 dan garis l2
dan terletak diantara garis l1 dan garis l2
Teorema 1.5
Jika diketahui dua
garis l1 dan garis l2 yang
saling berpotongan dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap dua garis tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan membentuk
sepasang ruas garis (bisector) yang membagi dua sama besar sudut-sudut
yang dibentuk oleh garis l1 dan garis l2
.
Teorema
1.6
Jika diketahui dua
sisi pada sebuah sudut, dan terdapat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap kedua sisi tersebut, maka kedudukan titik-titik tersebut akan
membentuk sebuah garis yang membagi dua sudut tersebut sama besar.
Teorema 1.7
Jika diketahui dua
lingkaran A dan B yang bersifat konsentris (lingkaran yang
memiliki titik pusat yang sama) dan terdapat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama dari kedua lingkaran tersebut, maka kedudukan titik-titik
tersebut akan membentuk sebuah lingkaran baru yang berada diantara lingkaran A
dan B dan saling konsentris.
Teorema
1.8
Jika diketahui
sebuah lingkaran k yang berpusat di A, dan terdapat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama terhadap lingkaran k. Maka kedudukan
titik-titik tersebut akan membentuk dua buah lingkaran yang berada di dalam dan
di luar lingkaran k dan saling konsentris.
Teorema 1.9
Jika diketahui sebuah
lingkaran l yang berpusat di A, yang berjari-jari kurang dari
jarak kedudukan titik-titik terhadap titik pusat A. Maka kedudukan
titik-titik tersebut akan membentuk sebuah lingkaran yang berada diluar
lingakaran l dan saling konsentris.
Contoh :
Terdapat dua buah pelampung pada sebuah
danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia
selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan
jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.
Tahap pemecahan masalah :
1) Understanding the
Problem
a. Nyatakan
masalah dengan kalimatmu sendiri !
Misalkan kedua pelampung adalah titik A
dan B dan perenang adalah titik C
Misalkan jarak C ke A adalah dAC
dan jarak C ke B adalah dCB.
Maka posisi perenang yaitu C terhadap A
dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga dCA dan dCB
selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan titik-titik tersebut ?
b. Tentukan
apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Bentuk kumpulan titik-titik sehingga dCA
dan dCB selalu tetap.
c. Apa
saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
Jarak titik A ke B
d. Informasi
apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
Titik A dan B berbeda posisi.
Jarak dCA dan dCB
selalu tetap yaitu dCA = dCB untuk meskipun posisi C
berubah-ubah.
2) Devising a Plan
Strategi pemecahan masalah yang mungkin
dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah:
a.
Membuat diagram / gambar.
Menggambarkan posisi titik A, B, dan C
sesuai kondisi masalah.
b.
Menguji masalah yang relevan dan
memeriksanya apa dapat digunakan
Memeriksa jika ada satu atau lebih
teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.
3) Carrying Out the Plan
a. Membuat
diagram / gambar
b. Memeriksa
jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai
Teorema
1.3
: Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah
titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).
yang tegak lurus terhadap ruas garis dan membagi menjadi dua
bagian sama besar.
Berdasarkan gambar
dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut
dapat dideskripsikan sebagai sebuah garis yang tegak lurus terhadap ruas
garis yang menghubungkan kedua pelampung yaitu dan membagi ruas garis
menjadi dua bagian sama panjang seperti digambarkan sebagai berikut.
4) Looking Back
Langkah terakhir pemecahan masalah
adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya
dengan cara:
a.
Memeriksa dengan pembuktian :
Buktikan teorema 1.3 berdasarkan
masalah tersebut secara deduktif.
b.
Menginterpretasikan penyelesaian
permasalahan ini berdasarkan argumentasi (reasonable) dengan menggunakan
koordinat dan aljabar.
Misalkan
koordinat titik C(x, y) di mana dCA = dCB dengan
koordinat A(xa, ya) dan B(xb, yb)
maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C1(x1, y1),
C2(x2, y2), … Cn(xn, yn)
yaitu :
(a)
jika ruas garis tegak lurus sumbu x maka y1 = y2 =
… = yn
(b)
jika ruas garis tegak lurus sumbu y maka x1 = x2 =
… = xn
Selanjutnya
harus dibuktikan bahwa garis C1C2 tegak lurus
Dengan
bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi untuk
tiga posisi C yang berbeda-beda sebagai berikut.
Pembuktian Teorema
Teorema 1.3
Kedudukan titik-titik yang
berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah
ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus
terhadap ruas garis dan membagi menjadi dua bagian sama besar.
Pembuktian:
p⇒q
akan mengakibatkan p⇒q dan q⇒p
Dimisalkan bahwa :
p = kedudukan titik-titik pada suatu
ruas garis berjarak sama dari P dan Q
q = ruas garis tegak lurus terhadap
ruas garis PQ dan membagi ruas garis PQ menjadi dua bagian sama panjang
Tahap 1 : q⇒p
Diketahui :
Titik P dan Q
Misalkan ruas
garis AB ⊥ ruas garis PQ dan ruas garis AB
membagi ruas garis PQ
(Pernyataan P)
Misalkan sembarang
titik di ruas garis AB adalah C
Ditanya: Apakah C berjarak
sama ke ruas garis PQ yaitu ruas garis CP≅ruas
garis CQ
Rencana: Gambar/Sketsa
permasalahan :
Bukti tahap 1 :
Pernyataan
|
Alasan
|
1. Ruas
garis AB 丄 ruas garis PQ.
Ruas garis AB membagi dua ruas garis PQ
2.
∠PDC
≅∠QDC
3.
Ruas garis PD ≅ ruas garis QD
4.
Ruas garis CD ≅ ruas garis DC
5.
∆PDC ≅
∆QPDC
6.
∆PDC ≅
∆QPDC
|
1. Diketahui
2. m∠PDC
= 90°
m∠QDC
= 90°
Jadi,
∠PDC
≅∠QDC
Akibat
pernyataan 1
3. Karena ruas garis AB membagi dua ruas garis
PQ sama panjang.
4. Sifat
refleksif
∠PDC
≅∠QDC
Ruas
garis PD ≅ ruas garis QD
∆PDC
dicerminkan oleh ruas garis CD menghasilkan ∆QDC
5. Kekongkruenan
segitiga
m∠PDC
≅m∠QDC
Ruas
garis CD ≅ ruas garis CD
6.
Akibat pernyataan 5
|
B. Sistem Koordinat Kartesius
Koordinat
kartesius adalah suatu bidang koordinat yang dibentuk oleh dua buah garis yaitu
garis x (sumbu x) yang mendatar dan garis y (sumbu y) yang tegak, yang saling
berpotongan. Penemu koordinat kartesius adalah Descartes. Dalam menentukan
posisi suatu titik pada suatu bidang datar kita memerlukan koordinat kartesius
tegak lurus. Dengan adanya koordinat kartesius ini, dapat mempermudah dan
menyederhanakan permasalahan/ konsep-konsep aljabar dan geometri.
Koordinat (x,y)
|
Kuadran I
|
Kuadran II
|
Kuadran III
|
Kuadran IV
|
Absis
|
x>0
|
x<0
|
x<0
|
x>0
|
Ordinat
|
y>0
|
y>0
|
y<0
|
y<0
|
Jarak dua titik pada bidang data
Contoh
:
Ditentukan koordinat titik A(1, 2), B(-3,
4), C(-3, -1), D(1, -1) maka keempat titik tersebut dapat digambarkan pada
Sistem Koordinat Cartesius sebagai berikut.
Pertanyaan 2 - 1 : Jika titik-titik tersebut dihubungkan
dengan ruas garis maka diperoleh sebuah segiempat CDAB, hitunglah luas dan
keliling segiempat tersebut.
Penyelesaian :
Diketahui : Segiempat
CDAB dengan koordinat A(1, 2), B(-3, 4), C(-3, -1), D(1, -1)
Ditanyakan : Luas
CDAB = …………satuan luas
Keliling CDAB = …………satuan panjang
Identifikasi
masalah : Untuk memudahkan penyelesaian, perlu didentifikasi bentuk CDAB
yaitu dengan cara menghubungkan semua titik sudut sehingga diperoleh bentuk di
samping. Identifikasi bentuk menunjukkan bahwa CDAB merupakan sebuah trapesium
siku-siku. Masalah luas dan keliling dapat diselesaikan apabila panjang sisi
CDAB diketahui. Sisi CDAB yaitu ruas garis CD, DA, AB, dan BC. Panjang tiap
ruas garis dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik.
Keliling CDAB adalah jumlah panjang semua sisi CDAB sehingga dirumuskan :. Luas
ditentukan dengan menggunakan rumus luas trapesium yaitu setengah dari tinggi
trapesium dikali jumlah panjang sisi-sisi sejajar sehingga dirumuskan :
Langkah Penyelesaian :
Langkah 1) Menentukan
panjang tiap sisi CDAB
Langkah 2) Menentukan
keliling CDAB satuan panjang
Langkah 3) Menentukan luas
CDAB satuan luas
Jadi luas segiempat CDAB
yaitu 16 satuan luas dan keliling CDAB sekitar 17,47 satuan panjang
Teorema 1.9 :
Koordinat titik tengah P(x, y) pada sebuah
ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah A(x1, y1) dan
B(x2, y2) adalah x = ½ (x1+ x2) dan
y = ½ (y1 + y2)
Soal
Latihan (Tes Formatif 1)
1.
Titik (5,-7) terletak pada kuadran …
A. I
B. II
C. III
D. IV
Jawaban : D. IV
2. Diketahui titik-titik P(-2,4), Q(1,-8),
R(-3,-14) dan S(7,19), maka titik yang terletak pada kuadran
II adalah …
A. P
B. Q
C. R
D. S
Jawaban : A. P
3.
Titik-titik berikut ini yang terletak
pada sumbu y adalah …
A. (5,0)
B. (7,7)
C. (0,7)
D. (-5,5)
E.
Jawaban : C. (0,7)
4.
Pasangan titik-titik berikut ini yang
jaraknya ke titik asalah adalah sama, yaitu …
A. (5,2)
dan (-5,3)
B. (7,4)
dan (4,7)
C. (1,4)
dan (2,3)
D. (-2,6)
dan (5,-1)
Jawaban :B. (7,4) dan (4,7)
5.
Titik (3,-2) adalah titik pertengahan
ruas garis yang ujung-ujungnya …
A. (4,3)
dan (1,-5)
B. (5,5)
dan (1,-9)
C. (5,7)
dan (3,-7)
D. (3,-8)
dan (0,6)
Jawaban : B. (5,5) dan (1,-9)
Penjelasan :
Untuk
mencari titik pertengahan ruas garis, maka kita dapat menggunakan rumus 
6.
Jarak titik-titik (-5,7) dan (-1,4)
adalah …
A. 2√7
B. 5√2
C. 5
D. 2√5
Jawaban : C. 5
Penjelasan :
Untuk menghitung jarak maka kita dapat menggunakan rumus
7. Segitiga yang titik-titik sudutnya
(5,4), (-3,2) dan (0,-1) merupakan segitiga …
A. Tumpul
B. Siku-siku
C. Lancip
D. Sama
kaki
Jawaban : B. Siku-siku
Sumber :
Catatan
Kuliah
Sukirman,
1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang,
Jakarta : Universitas Terbuka.
Modul
Belajar
Assalamu’alaikum wr wb. Bisa di bantu pembuktikan teorema 1.5?
BalasHapusAtau referensi mana saja yang digunakan kak ?
BalasHapus